Primer Momento de Lineas y Areas

• Centroide
  

El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de garvedad o el centro de masa del cuerpo. Se consideran tres casos especificos.
VOLUMEN. Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localización del centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las formulas que resultan son:
X = " x dv Y = " y dv Z = " z dv
" dv " dv " dv
AREA. De manera semejante, el centroide para el area para el area superficial de un boleto, como una planca o un casco puede encontrase subdividiendo el area en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de aerea en torno a los ejes de coordenadas a saber.
X = " x dA Y = " y dA Z = " z dA
" dvA " dA " dA
LINEA. Si la geomentria del objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la forma de una linea, la manera de encontrar su centoide es el siguiente:
X = " x dL Y = " y dL Z = " z dL
" dL " dL " dL
NOTA: En todos los casos anteriores la localización del centroide no esta necesariamente dentro del objeto. También los centroides de algunas formas pueden especificarse parcialmente o completamente usando condiciones de simetría. En los casos en los que la forma tiene un eje de simetría el centroide de la forma estaraa lo largo del eje.

• Momentos de Inercia para las Areas

El momento de inercia de una area se origina cuando es necesario calcular el momento de una carga distibuida que varia linealmentedesde el eje de momento. Un ejemplo característico de esta clase de carga lo tenemos en la carga de presion debida a un liquido sobre la superficie de una placa sumergida.

• Momento de Inercia
  
  

Consideremos el area A, que se muestra en la figura situada en el plano x - y. Por definición los momentos de inercia del area plana diferencial dA en torno al eje x y al eje y son dlx = y2 dA y dly = x2 dA, respectivamente. Para el area total los momentos de inercia se determina por integración es decir,
Tambien podemos formular el segundo momento del area diferencial dA en torno al polo O o el eje Z, a esto no referimos como el Momento Polar de Inercia, dJo = r2 dA. Aquí r es la distancia perpendicular del polo (eje z) al elemento dA.

Metodo de Analisis de Estructuras

• Definicion de una armadura

Una armadura es un ensamble triangular que distribuye cargas a lo soportes por medio de una combinación de miembros conectados por juntas articuladas, configurados en triángulos, de manera que idealmente todos se encuentren trabajando en compresión o en tensión pura y que todas las fuerzas de empuje se resuelvan internamente. En la práctica, algunos esfuerzos de flexión pueden ocurrir como resultado de la fricción de las juntas y de las cargas distribuidas aplicadas a los
miembros entre las juntas; generalmente, estos esfuerzos son menores comparados con las fuerzas axiales y, por lo común, se ignoran para propósitos analíticos. El triangulo es la unidad geométrica básica de la armadura; es una forma única, ya que no se puede cambiar sin que cambie la longitud de sus lados aun cuando las juntas estén articuladas. Todos los otros polígonos articulados son inestables.

• Tipos de Armaduras

Las formas perimetrales de la mayoría de las armaduras planas son triangulares, rectangulares, arqueadas o lenticulares. Estas formas perimetrales están invariablemente descompuestas en unidades triangulares mas pequeñas. Todos los elementos no tienen continuidad en las juntas y todas las juntas se comportan como si estuvieran articuladas.

• Metodo de Nodos

Este método consiste en analizar el equilibrio de cada junta o nodo una vez que se hayan determinado las reacciones. Las fuerzas sobre los pasadores en las juntas están siempre en la dirección de los elementos que hacen parte de estos; si el elemento comprime o empuja al pasador, este ejercerá una fuerza igual y de sentido contrario sobre aquél, el cual estará sometido a compresión. Si el elemento tira o hala al pasador, por reacción este halará al elemento y en consecuencia estará sometido a tracción.
Las ecuaciones disponibles al analizar el equilibrio de cada junta, para armaduras planas

son dos ya que se trata de equilibrio de fuerzas concurrentes, por consiguiente el número máximo de elementos que puede tener la armadura para que sea estáticamente determinado por la formula 2n-3 siendo n el número de juntas. El 3 representa el número máximo de incógnitas en las reacciones.

• Metodo de Secciones

Este método se basa en el hecho de que si una armadura, tomada como un conjunto, está en equilibrio, cualquier parte de ella también lo estará. Entonces, si se toma una porción de la estructura mediante un corte, de tal manera que no tenga mas de tres incógnitas, es posible, mediante las tres ecuaciones independientes disponibles en el caso de fuerzas coplanares, determinar las fuerzas en los miembros involucrados en el corte para obtener la solución respectiva.
Si por ejemplo se quiere determinar las fuerzas en los elementos FF, DF y DG, una vez determinadas las reacciones se procede a hacer un corte. Si tomamos la porción derecha (se puede tomar también la otra sección) y en los miembros cortados se indican las fuerzas ejercidas sobre ellos (el sentido es arbitrario) se puede tomar entonces dicha sección como un cuerpo rígido.
Tomando se deduce que FDF=0, tomando momentos con respecto a H y teniendo en cuenta el anterior resultado, se concluye que FEF=P y que el elemento esta a compresión. Por último haciendo se concluye que FDG=P y el miembro DG esta sometido a tracción. Los mismos resultados se obtienen si se considera la parte izquierda de la armadura.
El método de las secciones es particularmente útil cuando, por alguna razón, se requiere determinar las fuerzas en algunos elementos en particular.

Problemas Resueltos de Armaduras
http://dcb.fi-c.unam.mx/users/juanoc/archivos/est/Est-armaduras.pdf

Determine el máximo peso W que pueden soportar los cables mostrados en la figura. Los esfuerzos en los cables AB y AC no deben exceder 100 MPa, y 50 MPa, respectivamente. Las áreas transversales de ambos son: 400 mm2 para el cable AB y 200 mm2 para el cable AC.









W = ?
AB AC
M = 100 Mpa = 100X106 M = 50 Mpa
A = 400 mm2 = 400X10-6 A = 200 mm2
P = 40 Kn P = 10Kn
Py = (sen 30) (40) Py = 7,071.06
= 30,000
Px = (cos 30) (40) Px = 7,071.06
= 34,641.01
Σ Fy = Q Σ Fx = R
TBA + TAC – W TBA + TAC – W
(40 sen 30) + (10 sen 45) – W = 0 - (40 cos 30) + (10 cos 45) = R
20 BA + 7.07 AC = W - 34.64 TAB + 7.07 TAC = 0
20 AB + 70.7 (4.89 TAB) = W TAC = = 4.89 TAB
TAB = (400X10-6) (100X106) - 775 W =A6
W= 2182.8 X103 N
W = 12893.44
Σ Fx = TAC cos 45 – TAB cos 30 = 0
Σ Fy = TAC sen 45 + TAB sec 45 – W = 0
TAC = = 1.22 TAB = -775W
1.22 TAB sen 45 + TAB sen 45 = W = A6
.866 TAB + .707 TAB = W
TAB = W

W = (100X10 6) (400)



Determine, para la armadura de la figura, las áreas transversales de las barras BE, BF, CF, de modo que los esfuerzos no excedan de 100 MN/m2 en tensión ni de 80 MN/m2 en compresión. Para evitar el peligro de un pandeo, se especifica una tensión reducida en la compresión.

A = ?
T = 100 MN/m2 100,000 (tensión)
T = 80 MN/m2
2 MB = 0
- (3 m) (40,000) – (6 m) (50,000) – (8 m) (CF) = 0
CF = 52,500 N (compresión)
2 MF = 0
- (3 m) (50,000) – (4 m) (EB cos 53.13)
EB = 62,499.85 N (tensión)
Σ Fx= 0
CF – EBX – BFX = 0
52,500 – 37,500 = (BF x cos 69.44)
BF = 42,712.11 N (tensión)
CF = A = = = 6.56 X 10-4 = 6.56 cm2
EB = A = = 6.25 cm2
BF = A = = 4.27 cm2

Una barra homogénea AB (de 150 kg) soporta una fuerza de 2-kN. La barra está sostenida por un perno (en B) y un cable (CD) de 10mm de diámetro. Determine el esfuerzo ejercido en el cable.

T cable =
ΣMb = (T X F)b = 0
(6 m) (2000) + (3 m) (1470) – (3 m) (T sen 53.13º)
T = 6,837.5 N
T cable = = 87,102,027.53 Pa = 87.102 Mpa


Una barra homogénea AB (de 1000 kg de masa) pende de dos cables AC y BD, cada uno de los cuales tiene un área transversal de 400 mm2, como se observa en la figura. Determine la magnitud P, así como la ubicación de la fuerza adicional máxima que se puede aplicar a la barra. Los esfuerzos en los cables AC y BD tienen un límite de 100 MPa y 50 MPa, respectivamente.

P = TA
PAC = (100x106) = 40,000 N
P = TA
PBC = (50X106) (400X10-6) = 20,000 N
Σ Fy = 0
40,000 + 20,000 – 4800 – P = 0
P = 50,200 N
Σ MA = 0 (r x f)
- (1 m) (9800 N) + (2 m) (20,000) – (x) (50,200) = 0
X = 0.601 m




Un recipiente cilíndrico a presión está fabricado de placas de hacer que tienen un espesor de 20 mm. El diámetro del recipiente es 500 mm y su longitud, 3 m. determine la máxima presión interna que puede aplicarse si el esfuerzo en el acero esta limitado a 140 MPa. Si se aumenta la presión interna hasta que el recipiente fallara, bosqueje el tipo de fractura que ocurrirá.

TAC = 140 Mpa
A = 3.61X10-4 m2
- ΣAC = 200 G Pa
- L = 3 m
ΣAC = 7X10-9 m/m
T = 2.1X10-3 m
P = 11.2 MPa


Calcula el mínimo espesor de la placa que forma el deposito si el esta admisible es de 40 MN/m2 y la presión interior vale 1.5 MN/m2.

T = 40 Mn/m2 = 40X106 Pa
P = 1.5 MN/m2 = 1.5X106 Pa
Esp = ?
d = 600X10-3 mm
t = 0.01125 m



Una barra de aluminio de sección constante de 160 mm2 soporta unas fuerzas axiales aplicadas. Si E = 70 GPa, determina el alargamiento o acortamiento total de la barra. (No hay pandeo).

A = 160 mm2
Σ = 70 Gpa
T = ?
Si =
AE = (160x10-6) (70X109) = 11.2X106
& = = -5.35X10-4 m
& = = 1.78 X 10-3
& = = 6.25X10-3
& = 7.5X10-3 m = 7.5 mm



Un tubo de bronce de 150 mm de longitud, cerrado en sus extremos, tiene 80 mm de diámetro y 3 mm de espesor. Se introduce sin holgura en un bloque absolutamente rígido e indeformable y se somete a una presión interior de 4 Mn/m2/m2. Con los valores v = 1/3 y E = P3x103 MN/m2. Determinar el esfuerzo circunferencial del tubo.

P = 4 Mn/m2
V = 1/3
E = 83X103 MN/m2
T = ?
A = ¼ p (74X10-6)
A = 5.81X10-5 m2
& = = = 0.124 m
E = = = 0.829 m/m
T = EG = (83X103 MN/m) (0.829 m/m)
T = 68.846.81


Un tubo de aluminio de 200 mm de largo, cerrada en sus extremos, tiene 100 mm de diámetro y una pared de 2 mm de espesor. Si el tubo cabe justamente entre dos paredes rígidas con presión interna nula, determine los esfuerzos longitudinal y tangencial para una presión interna de 4.00 MN/m2. Suponga v = 1/3 y E = 70 x 104 N/m2.
L = 200X10-3
D = 100X10-3
T = 2X10-3
P = 400 Mpa
E = 70X09 Pa
Tl =100 MPa
Tc = 50 MPa

Momento de un Par

Momento de un par de fuerzas

En mecánica newtoniana, se denomina momento de fuerza, torque, torca, o par (o sencillamente momento) [respecto a un punto fijado B] a la magnitud que viene dada por el producto vectorial de una fuerza por un vector director (también llamado radio vector). Si se denomina F a una fuerza, aplicada en un punto A, su momento respecto a otro punto B viene dado por:
Donde es el vector director que va desde B a A. Por la propia definición del producto vectorial, el momento es un vector perpendicular al plano formado por y .
Se expresa en unidades de fuerza por unidades de distancia. En el Sistema Internacional de Unidades resulta Newton·metro y se la puede nombrar como newton-metro o newtometro. Si bien es equivalente al julio en unidades, no se utiliza esta denominación para medir momentos, ya que el julio representa trabajo o energía que es un concepto diferente a un momento de fuerza.
El momento de fuerza es equivalente al concepto de par motor, es decir, la fuerza que se tiene que hacer para mover un cuerpo respecto a un punto fijo (Ej: un electrón respecto al núcleo) y se condiciona por la masa y la distancia.







Par Equivalente

La equivalencia estática es una relación de equivalencia entre sistemas de fuerzas aplicadas sobre un cuerpo. Dados dos sistemas de fuerzas se dice que son estáticamente equivalentes si y solo si la fuerza resultante y el momento resultante de ambos sistemas de fuerzas son idénticos. Por tanto escribiremos que:
Cuando suceda que:
Donde: son los vectores directores desde un punto fijo a los puntos de aplicación de las fuerzas .

Producto Escalar de Dos Vectores

u · v = U V cos ∅

cos ∅= (u · v )/(U V)

Cuando 0≤∅≤ 90˚ tienen la misma direccion.

Cuando ∅= π/2 dos vectores u y v son ortogonales (forman un angulo de 90˚ )

Problema 3.39 (libro mecanica vectorial para ingenieros)